مطالعه و تعمیم برخی توسیع ها از حلقه های جابجایی با رویکرد نظریه مدول ها

در این رساله ما ابتدا به تعمیم مفاهیم کرانداری و کاملا کرانداری برای مدول ها می پردازیم. برای این منظور مفهوم ایده آل اول را تعمیم داده و رده مهمی از زیرمدول های کاملا پایا در یک مدول را معرفی می کنیم. سپس به کمک این مفاهیم (کرانداری و کاملا کرانداری) حلقه های آرتینی، نیم آرتینی، پیش نیم آرتینی و نیز حلقه های دارای ساکل اساسی را مشخصه سازی خواهیم کرد. به ویژه ثابت می کنیم که همه مدول های راست کراندار هستند اگر و تنها اگر حلقه زمینه دارای ساکل راست اساسی باشد. هم چنین نشان می دهیم که یک حلقه پیش نیم آرتینی است اگر و تنها اگر همه مدول ها کاملا کراندار باشند. در ادامه بعد کرول مدول های کاملا کراندار را مورد بررسی قرار می دهیم و ثابت می کنیم که بعد کرول رده های خاصی از مدول های کاملا کراندار حداکثر برابر با بعد کرول کلاسیک حلقه زمینه است. پس از آن مفهوم بعد کرول کلاسیک حلقه ها را برای مدول ها تعمیم داده و چندین قضیه مهم را برای این تعمیم بیان می کنیم. به ویژه در این بخش دو تعمیم دیگر به نامهای درون کرانداری و کاملا درون کرانداری ارایه داده و کرانهایی برای بعد کرول این مدول ها توسط بعد کرول کلاسیک معرفی شده به دست می آوریم. در پایان نیز توجه خود را معطوف مطالعه مدول های تصویری محض و تزریقی محض روی حلقه های ماتریس های پایین مثلثی صوری نموده و ضمن مشخصه سازی این مدول ها کاربردهایی نیز در نظریه حلقه ها ارایه می کنیم. از جمله ثابت میکنیم که یک حلقه چسبیده راست است اگر و تنها اگر همه حلقه های ماتریس های پایین مثلثی روی آن چسبیده راست باشند.